KINEMATIKA RELATIVITAS

KINEMATIKA RELATIVITAS

1.1.  Postulat Relativitas Khusus

      Sepeda motor Rosi bergerak dengan kecepatan 250 km/jam.  Kaki anak itu selalu bergerak.  Apa sebenarnya gerak itu ?  Kapan suatu benda dikatakan bergerak ?  Sesuatu benda dikatakan bergerak, jika kedudukan benda itu berubah relatif terhadap waktu.  Penumpang bergerak relatif terhadap kapal udara, kapal bergerak relatif terhadap bumi, bumi bergerak relatif terhadap matahari dan sebagainya.  Untuk menyatakan suatu benda bergerak selalu menyangkut kerangka khusus sebagai acuan.

      Jika kita berada di dalam laboratorium tertutup, kitaa tidak dapat menentukan apakah laboratorium bergerak dengan kecepatan tetap atau diam, karena tanpa kerangka eksternal konsep gerak tidak mempunyai arti.  Kita tak dapat mendapatkan kerangka universal yang meliputi seluruh ruang, hal ini berarti tidak ada gerak absolut.

      Berdasarkan hasil analisis konsekuensi fisis yang tersirat ketiadaan kerangka acuan universal, maka muncullah teori relativitas yang dikembangkan oleh Albert Einstein  tahun 1905 yang pada dasarnya mempersoalkan” kerangka acuan universal ”yang merupakan kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap terhadap kerangka acuan lainnya.  Teori relativitas khusus bersandar pada 2 postulat yaitu:

• Prinsip relativitas  sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak menyatakan baahwa ”hukum fisika ” dapat dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama dalam semua kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan tetap satu terhadap lainnya.
• Kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama besar untuk semua pengamat, tidak bergantung dari keadaan gerak pengamat itu.

1.2.  Pemuaian Waktu

      Pemuaian waktu adalah selang waktu diamati oleh pengamat diam dan berbeda dengan pengamat yang bergerak.  Perbedaan pengamatan waktu ini disebut pemuaian waktu.  Contoh dua pengamat mengamati selang waktu dari dua kejadian kedipan cahaya.  Secara matematika proses pemuaian waktu dirumuskan

                   atau                                (1.1)

Karena kuantitas  selalu lebih kecil dari 1 untuk benda yang bergerak t selalu lebih besar dari t_o.  Lonceng yang bergerak dalam roket kelihatannya berdetik lebih lambat dari lonceng yang diam di bumi untuk pengamat yang ada di bumi

Keterangan:

 selang waktu pada lonceng dalam keadaan gerak relatif terhadap pengamat

 selang waktu pada lonceng yang diam relatif terhadap pengamat

 kelajuan gerak relative

kelajuan cahaya (3 x 10⁸m/s)

      Analisis yang sama untuk pengukuran lonceng di bumi oleh pengamat dalam roket.  Untuk pengamat itu pulsa cahaya di bumi menempuh  lintasan zigzag yang memerlukan waktu total t untuk pulang pergi, sedangkan lonceng  yang diam dalam roket berdetik dalam selang waktu t_o.  Ia juga memperoleh  waktu sebesar :

                     

Sehingga efeknya timbale balik.  Setiap pengamat mendapatkan bahwa lonceng yang bergerak relatif terhadapnya bertdetik lebih lambat terhadap lonceng yang diam.

1.3.    Paradoks Kembar

Paradoks ini berkaitan dengan dua  lonceng yang identik, yang satu tinggal di bumi, sedangkan yang lainnya dibawa ikut dalam perjalanan ke ruang angkasa dengan kelajuan v, kemudian kembali ke bumi.  Biasanya lonceng diganti dengan sepasang anak kembar yaitu A dan B.  Setelah mereka berumur 20 tahun, si kembar A pergi mengembara ke ruang angkasa dengan kelajuan  v = 0,8c ke suatu bintang  yang berjarak 20 tahun cahaya, kemudian ia kembali ke bumi atau setara dengan 9,46.10¹⁵ m.  Menurut si B, A telah kembali setelah pergi selama 50 tahun ( t₀=2L/V = 40c/0,8c = 50 tahun).  Sedangkan menurut si A dia pergi selama 30 tahun.  Jadi kini si A berumur 50 tahun dan si B berumur 70 tahun.  Aneh kan? Dimana letak paradoksnya?  Jika kita periksa situasinya dari pandangan si A yang berada dalam roket, sedangkan B berada dalam keadaan gerak dengan kealajuan 0,8c.  Jadi menurut si A dia telah berumur 70 tahun dan B berumur 50 tahun. 

       Pemecahan paradoks ini bergantung dari asimetri kehidupa orang kembar itu.  Kembar B selalu ada dalam kerangka acuan inersial seluruh waktunya, sehingga B boleh memakai rumus pemuaian waktu untuk seluruh perjalanan A.  Kembar A sebaliknya, harus berubah dari satu kerangka inersial ke kerangka inersial lain ketika A membalik arah roketnya, sehingga pemakaian rumus pemuaian waktu berlaku saat a jenjauhi.  Jadi kesimpulannya, B yang benar, yaitu A akan lebih muda ketika ia kembali.

Contoh penerapan pemuaian waktu:

1.  Sebuah roket melaju dengan kecepatan v, loncengnya berbunyi 1 detik terlambat dalam 1 jam relatif terhadap lonceng di bumi.  Berapa kecepatan roket tersebut?.

Jawab : lonceng di pesawat diam menurut pengamat di pesawat, jadi t_o = 360 detik, sedangkan lonceng di pesawat menurut pengamat di bumi bergerak, sehingga t = 3601 detik.  Dengan menerapkan rumus pemuaian waktu :

                       

                      

                         

                          =  = 7,1.10⁶ m/s

2.  Sebuah meson terjadi karena tumbukan energi tinggi sebuah partikel sinar kosmik di dalam atmosfir bumi 200 km di atas permukaan laut.  Ia turun secara vertikal dengan kecepatan 0,99c dan berintegrasi 2,5.10^-8 detik,  setelah tercipta di dalam kerangka sebenarnya.  Pada ketinggian   berapa di atas permukaan laut ia diamati dari bumi akan berintegrasi?

      Jawab :  2,5.10^-8 adalah waktu menurut meson sendiri, jadi t_o = 2,5.10^-8 dt

                    

                     = 1,8.10^-7 detik

                     Jarak turun dari tempat terciptanya meson adalah

                     S = c.t = 0,054 km

                     Jadi tinggi tempat terjadinya integrasi dari permukaan laut adalah

                     200 – 0,054 = 199,946 km.

1.3.  Efek Doppler

Di  SLTA kita telah mempelajari  Efek dopler tentang bunyi, dimana pertabahan tinggi nada terjadi, jika sumber bunyi mendekati kita, dan menurun jika sumber bunyi menjauhi kita atau kita menjauhi sumber bunyi, hal ini dirumuskan dalam persamaan

                                                                      (1.2)

                 = frekuensi pengamat,  = frekuensi sumber

                  C = kelajuan bunyi, V = kelajuan sumber,  v = kelajuan pengamat

                  v  + (positif), jika ia bergerak ke arah sumber dan sebaliknya.

                  V + (positif), jika ia ke arah pengamat dan sebaliknya.

Kita dapat mengalisa efek Doppler    cahaya dengan memandang  sumber cahaya sebagai lonceng berdetik   kali per sekon dan memancarkan cahaya pada setiap tik.  Ada beberapa persamaan efek doppler untuk cahaya yaitu:

            , dengan   dalam kerangka acuan pengamat.  Jadi frekuensi yang teramati adalah : 

            =                                          (1.3)

2.          Pengamat menjauhi sumber cahaya.

Pengamat menempuh jarak vt menjauhi sumber antara dua tik.  Hal ini berarti cahaya dari suatu tik tertentu mengambil waktu vt/c lebih panjang untuk sampai kepadanya dibandingkan sebelumnya.  Jadi total waktu antara kedatangan gelombang yang berurutan adalah

            T = t + =

             T = , sehingga frekuensi yang teramati

             

                                                                   (1.4)

3.          Pengamat mendekati sumber cahaya

Dengan cara yang sama pada langkah 2 adalah

              T = t - =

             T = , sehingga f  rekuensi yang teramati

             

                                                                 (1.5)

Contoh soal

1.  Sebuah pesawat angkasa yang menjauhi bumi pada kelajuan 0,97c memancarkan data dengan laju 10⁴ pulsa/s.  Pada laju berapa data itu diterima?

Jawab :  Pesawat menjauhi bumi/pengamat, berarti

                 =  = 1,23.10³ pulsa/s

1.4.    Pengerutan Panjang

Pengerutan relativistic dari jarak merupakan contoh umum dari pengerutan panjang Lorentz-FitzGerald dalam arah gerak:

                                                                  (1.6)

balik.terhadap orang dalam roket, benda di Bumi terlihat lebih pendek dibandingkan dengan yang diamatinya jika ia berada di Bumi dengan factor  sama dengan faktor memendeknya roket itu terhadap orang di Bumi. Panjang proper  dalam kerangka diam merupakan panjang maksimum yang dapat teramati. Hanya panjang dalam arah gerak yang berlaku dalam pengerutan. Jadi bagi pengamat dalam roket pesawat tadi lebih pendek dibandingkan bila ia melihatnya dari Bumi, namun tidak terlalu dekat.

Contoh : 

Seorang pengamat berdiri pada peron stasiun ketika sebuah kereta api modern bercepatan tinggi melewati stasiun dengan laju 0,6c.  Pengamat itu mengukur ujung-ujung peron terebut yang panjangnya 45 m tepat segaris dengan ujung-ujung peron tersebut.

1.          Berapa lama pengamat di peron melihat kereta itu melewati suatu titik tertentu pada peron?

2.          Berapa panjang sebenarnya kereta tersebut?

3.          Berapa panjang peron menurut pengamat dalam kereta?

4.          Berapa lama diperlukan sutu titik pada peron untuk melewati panjang kereta secara penuh, menurut pengamat dalam kereta?

5.          Bagi pengamat dalam kereta, ujung-ujung kereta tidak akan secara simultan segearis dengan ujung-ujung peron.  Carilah selang waktu antara ujung depan kereta segaris dengan salah satu ujung peron dan ujung belakang kereta segaris dengan ujung peron yang lain.

Jawa : 

1.  Untuk melewati suatu titik tertentu, kereta api harus menempuh jarak  

     sepanjang kereta itu meneurut pengat pada peron, 

2.  Pengamat di peron mengukur kereta yang sedang bergerak, maka panjang

      kereta yang sebenarnya adalah  

      =  , maka     = 56,25 m

3.  Pengamat dalam kereta mengamati peron mempunyai panjang terkontraksi

     Panjang sebenarnya adalah = 45 m, maka = 45.0,8 = 36m

4.  Karena panjang kereta adalah 56,25 m, maka

5.  Selang waktu antara ujung depan kereta segaris dengan salah satu ujung peron dan ujung belakang kereta segaris dengan ujung peron lainnya, maka jarak tersebut adalah panjang kereta sebenarnya – panjang peron = 20,25, jadi selang waktunya adalah :

                

            

1.5.    Transformasi Lorentz

Bayangkan bahwa kita berada pada kerangka acuan S, dalam waktu t kita berada dalam sistem koordinat (x,y,z).  Pengamat yang berada pada kerangka acuan lain S^’ bergerak terhadap S dengan kelajuan tetap v dalam waktu t^’ berada dalam sistem koordinat (x^’, y^’, z^’).  Kecepatan v searah dengan sumbu x.

 

            S                   S^’

            y                      y^’                               v

 

                            x                                           x^’

           z                     z^’

Jika waktu kedua system diukur dari saat ketika titik asal S dan S^’ berimpit, pengukuran dalam arah x yang dilakukan S akan melebihi yang di S^’ dengan vt, yang menyatakan jarak yang ditempuh S^’ dalam arah x, jadi

          

                     

                      

                        dan               Transformasi Galilei                     (1.7)

                       

Dengan melakukan diferensial  x^’, y^’, dan z^’ terhadap waktu, maka

                                                                               (1.8)

                                                                               (1.9)

                                                                               (1.10)

Transformasi kecepatan di atas melanggar postulat relativitas khusus.  Coba anda cari letak pelanggarannya!

dan x^’ adalah

          

            , dengan  faktor pembanding                          (1.11)

                                     yang tidak bergantung pada x dan t          

Karena persamaan fisika harus berbebtuk sama dalam kedua kerangka S dan S^’, kita hanya memerlukan beda tanda v, sehingga persamaan di atas menjadi

                                                                                      (1.12)

Walaupun demikian koordinat t dan t^’ tidak sama.  Kita dapat melihat hal ini dengan mensubsitusikan x^’ yang didapat dari persamaan

  dan     sehingga diperoleh

                 , dari persamaan ini kita dapatkan

                                                                               (1.13)

Postulat kedua dari relativitas memungkinkan kita untuk mencari k. Pada saat t = 0 titik kerangka kedua S dan S^’ berada pada tempat yang sama, menurut persyaratan awal, maka t^’ = 0 juga dan pengamat pada masing-masing koordinat meneruskan pengukuran kelajuan cahaya yang memancar dari titik itu.  Kedua pengamat harus mendapatkan kelajuan yang sama yaitu c, yang berarti bahwa dalam kerangka acuan S

               sedangkan kerangka S^’  diperoleh

                                                                                               (1.14)   

Dengan mensubsitusikan x^’ dan t^’ dalam persamaan  dengan pertolongan persamaan  dan , maka diperoleh

    , dan dengan mencari x,

   

       =

Dengan demikian persamaan , kuatitas dalam kurung sama dengan 1, maka persamaan tersebut menjadi:

     

  = 1, dan     , dari persamaan ini kita akan memperoleh transformasi Lorentz yaitu

                                                                               (1.15)

                     

                    

                                                                              (1.16)

1.6.  Penjumlahan kecepatan

Masih ingat dengan postulat relativitas khusus tentang kelajuan cahaya dalam ruang hampa?  Kelajuan cahaya dalam ruang hampa sama untuk semua pengamat tak bergantung dari gerak relatifnya, yaitu c (3.10⁸ m/s).  Tetapi menurut teori Newtonian (mekanika klasik) mengatakan bahwa v = v₁ + v₂.  Menurut akal sehat, hal tersebut ada benarnya.  Misal seorang anak naik kereta api dengan kelajuan 40 m/s, di dalam kereta anak tersebut menyala lampu center (kecepatan cahaya c = 3.10⁸ m/s), maka kecepatan cahaya tersebut adalah c + 40, hal ini bertentangan dengan postulat di atas. Lantas dimana keberlakuan teori mekanika klasik dan teori Einstin?  Dan apa perbedaan dari ke dua teori tersebut?  Untuk mari kita tinjau sesuatu yang bergerak relatif terhadap ke duanya S dan S^’.  Pengamat di S mengukur ketiga komponen kecepatan

          ,              ,                                           (1.17)

Sedangkan pengamat di S’ mendapatkan

          ,             ,                                        (1.18)

Dengan mendefrensial persamaan transformasi lorentz balik untuk x, y, z dan t, maka diperoleh

         

          , sehingga

         =   =

                                                                         (1.19)

          ,                                                                     (1.20)

                                                                                (1.21)

         

           Atau                                                            (1.19)

         Dengan  = kecepatan benda  2 relatif terhadap pengamat yang diam

                       =  Kecepatan benda 1 relatif terhadap benda 2

                       =  kecepatan benda 2 relatif terhadap benda 1

Contoh soal : 

Pesawat angkasa amerika berkelajuan 0,9c terhadap bumi.  Jika pesawat angkasa Rusia melewati pesawat angkasa Amerika dengan kelajuan relatif 0,5c.  Berapakah kelajuan pesawat Rusia terhadap bumi? a).  Menurut mekanika klasik,   b).  Menurut Einstein

Jawab:  a).  Menurut mekanika klasik  V = 0,9c + 0,5c = 1,4c tak mungkin

             b).  Menurut Einstein     =  = 0,965c

                   Jadi pesawat rusia harus berkecepatan 0,965c terhadap buni, agar ia

                   mempunyai kecepatan 0,5c relatif terhadap pesawat amerika.

Uji Kompetensi 1

1.      Suatu partikel berumur 10^-7 s ketika diukur dalam keadaan diam.  Berpa jauh partikel itu bergerak sebelum meluruh, jika kelajuannyya 0,99c ketika partikel tersebut tercipta.

2.      Seorang astronot meroket dengan kecepatan 0,8c waktu itu astronot melihat jamnya sendiri seudah 1 jam.  Berapa jam menurut pengamat di bumi?

3.      meson mempunyai umur rata-rata 2.10^-6 s, bila diukur oleh pengamat diam.  Berapa umur rata-rata meson itu bila di ukur oleh pengamat yang melihat meson itu bergerak dengan kecepatan 0,8c?

4.      Dua anak kembar A dan B, A pergi berkelana dengan pesawat ruang angkasa ke suatu planet.  Jika pesawat dapat bergerak dengan kecepatan 0,98c, berapa usia A, jika usia B di bumi 80 tahun.

5.      sebuah pesawat terbang bergerak dengan kecepatan 600m/s.  Setelah berapa hari menurut jam di bumi berbeda 10^-6 s? (di bumi dan di pesawat perbedaan selang waktu 10^-6 s) atau t – t_o = 10^-6 s.

6.      Seorang mahasiswa fisika diuji oleh seorang dosen, sementara mahasiswa mengerjakan soal, dosen bergerak ke angkasa dengan kecepatan 0,6c relatif terhadap mahasiswa.  Dosen memberi kedipan cahaya kepada mahasiswa bahwa ujian sudah 1 jam.  Berapa lamakah mahasiswa mengerjakan soal ujian tersebut menurut mahasiswa sendiri?

7.   Suatu zarah muon yang terbentuk pada lapis teratas atmosfir bergerak secara vertikal menuju permukan bumi dengan kecepatan v = 0,99c.  Massa tak gerak muon adalah 54 Mev/c².  Usia muon tersebut 2,22 mikrosekon dalam kerangka koordinat acuannya sendiri.  Hitunglah:

a.       Usia zarah itu dalam kerangka acuan seorang pengamat di permukaan

       bumi.

b.      Tebal atmosfir yang melewati muon, menurut kerangka acuan muon.

c.       Jarak tempuh zarah yang terukur oleh pengamat termaksud dalam butir a.

d.      Energi total muon yang terukur oleh pengamat termaksud dalam butir a.

8.   Sebuah tongkat panjangnya 2 m membentuk sudut 60^o terhadap sumbu x.  Berapa panjang batang tersebut jika ia bergerak sejajar sumbu x dengan kecepatan 0,6c.  Hitung pula sudut yang dibentuk dengan sumbu y. 

9.  sebuah batang tegang homogen panjangnya 1,6 m menurut pengamat bergerak.  Batang itu membentuk sudut 60^o terhadap sumbu x.  Berapa panjang batang itu menurut pengamat yang diam, jika batang tersebut  bergerak kecepatan 0,8c?

10. Dua pesawat angkasa A dan B berjalan beriringan.  Kecepatan A = 0,8c terhadap B, dan kecepatan B = 0,6c terhadap pengamat yang berada di bulan.  Berapa kecepatan A menurut pengamat di bulan ?