Selasa, 21 Mei 2013


Bab.3 Matriks
3.1. Definisi Matriks
         Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom.

         Untuk batasnya adalah :
Notasi Matriks  :
A = ,
         dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

Kesamaan Matriks

2 buah matriks A =  dan B =  dikatakan sama A = B jika ukuran nya sama yaitu ( m x n ) dan aij = bij  untuk setiap i dan j ( i = 1,2,….,m  ;j = 1,2,….,n )

    3.2. Operasi Pada Matriks

a.    Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran sama ).
Jika A =  dan B =   , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C =   , di mana cij =  aij + bij  untuk  setiap i dan j.
Contoh :
A = dan B =  maka
A + B = +  =  
            =  


b.    Perkalian skalar  terhadap matriks
Jika l suatu scalar ( bilangan ) dan A =  maka matriks lA = (laij )
Contoh :
A = maka   2A = =
c.    Perkalian Matriks
Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB ¹BA.
Syarat Perkalian Matriks :
Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.

Definisi :
            Misal A =  berukuran ( m x n ) dan        B =  berukuran ( n x p ) . Maka perkalian AB adalah suatu matriks C =  berukuran ( m x p)
di mana  cij =  ai1 b1j  + ai2 b2j  + ….. +  ain bnj   untuk setiap  I = 1,2,,,,,,m dan j = 1,2,….,p

Contoh :
A =  dan B =  maka
AB =  = (5)
A  (1x3) dan B  (3x1)  maka C  ( 1x1)

3.3. Transpose dari suatu Matriks
Misal A =  berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran ( nxm) maka
AT =.
Beberapa Sifat matriks transpose :
(i)            ( A + B ) T = AT + BT
(ii)           (AT ) T = A
(iii)          l( AT )  = (lA)T
(iv)         ( AB ) T = BT AT

Catatan :

Bila Matriks A =  adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu AH =  =     , jika z = x – yi maka = x + yi
Contoh :
A =  maka AH  =
3.4. Beberapa Jenis Matriks Khusus
(1)  Matriks Bujur Sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya kolom= n disebut berordo n
Contoh :
A =  adalah matriks bujur sangkar ordo 2
(2)  Matriks Nol
adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)
(3)  Matriks Diagonal
adalah matriks  bujur sangkar yang semua elemen di luar  diagonal utama adalah nol
Contoh :
(4) Matriks Identity ( Satuan )
adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya  semua sama dengan  1
Contoh :
                   
(5) Matriks Skalar
adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1


Contoh :
                
(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol.
Contoh :
                
(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.
Contoh :
                
(8)  Matriks Simetris
 adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.
Contoh :
A =  dan AT =
(9) Matriks Antisimetris
adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain AT = - A
Contoh :
A=  , AT =



(10) Matriks Hermitian
   adalah matriks dengan transpose hermitiannya =    dirinya sendiri. Dengan perkataan lain  AH = - A
Contoh
A =  dan AH =

      (11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :
         Jika  A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku  AB = BA + I maka dikatakan B invers   dari A dan ditulis  B = A-1  sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B-1  

(12) Matriks Komutatif.
adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA.
dan
Anti Komutatif
Jika  AB = -BA

(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten
         © Matriks Idempoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     AA = A2  = A
         © Matriks Periodik
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     AAA…A = Ap = A dikatakan periodik dengan periode p-1
         © Matriks Nilpoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     Ar  = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan  r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

3.5. Transformasi ( Operasi) Elemen   pada Baris dan Kolom Suatu Matriks
Yang di maksud dengan transformasi elementer pada baris/kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut :

(1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j        ditulis  Hij(A).
         Contoh :
         A =  maka  H12(A)=
(1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j        ditulis  Kij(A).
         Contoh :
         A =  maka  K12(A)=
(2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar l ¹ 0, ditulis Hi(l) (A)
         Contoh :

A =  maka  H2(2) (A)=     di kali 2

(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar l ¹ 0, ditulis Kj(l) (A)
         Contoh :
                                                        di kali 3
A =  maka  K1(3) (A)=     

(3a) Menambah baris ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali baris ke -j, ditulis Hij(l) (A)
A =  maka  H21(1) (A)=                (*)
(*) Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali kolom ke -j, ditulis Kij(l) (A)                            (*)
A =  maka  K31(2) (A)=       
(*) kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

3.6. Matriks Ekivalen
         Dua matriks A dan B disebut Ekivalen ( A ~ B ) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi elementer terhadap baris atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja dikatakan ekivalen baris, dan jika kolom saja dikatakan ekivalen kolom.
         Contoh :

         A =  dan B = adalah ekivalen baris  , karena B = H12(A)

3.7. Matriks Elementer
     adalah suatu matriks yang kita lakukan satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I
      Contoh :

      H13(I)=   , H31(2) (I)=       

      K13(I)=   , K31(2) (I)=      

3.8. Ruang Baris (Row Space) dan Ruang Kolom (Coloum Space) dari suatu Matriks

Misal : Matriks A ukuran (4 x 5) sebagai berikut :

A =


Tiap – tiap baris/Kolom dari matriks A dapat di anggap sebagai vektor dan disebut vektor baris/kolom

Definisi :
Ruang baris dari matriks A (mxn) adalahsuatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor baris dari A.
Analog
Ruang kolom dari matriks A (mxn) adalahsuatu ruang vektor bagian dari Rn yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A.

3.9. Rank Matriks
Definisi :
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.
Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.
Dan Ternyata Rank Baris = Rank Kolom ditulis r(A)
Catatan :
© Rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum  vektor-vektor baris/kolom yang bebas linier
©Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer. Dengan mengubah sebanyak mungkin baris/kolom menjadi vektor nol ( karena vektor nol adalah bergantung linier ).
© Petunjuk menentukan Rank (Baris/Kolom):
1.    Tentukan elemen Pivot (pada baris/kolom), untuk mempermudah pilih elemen 1 atau –1
2.    Jadikan nol semua elemen yang sekolom/sebaris dengan pivot tersebut.
3.    Sekarang kita perlu perhatikan lagi baris /kolom yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot):
3.1.        apabila tinggal dua baris /kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa apakah baris/kolom tersebut kelipatan jika ya maka salah satu baris /kolom tersebut dapat dijadikan nol.jika tidak langkah selesai
3.2.        apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas sampai langkah 3.1.




Contoh : tentukan Rank dari matriks A berikut :

A =

Dengan menentukan  Rank Baris
1.    Pilih Pivot pada baris satu kolom satu, yaitu elemen =1
2.    Dengan mengunakan transformasi elementer baris H21(-2) (A);  H31(-1) (A); H41(-1) (A) diperoleh matriks
            B= 
3.2 Karena masih tersisa matrik ukuran (3x3 )                     (  tanpa baris satu kolom satu atau baris dan kolom yang mengandung piviot ) maka kita harus temukan pivot kembali dan ulangi langkah 1 sampai 3.1.
1.    Plih pivot pada elemen baris 2 kolom 2 ( misalnya karena elemen baris 3 kolom 3 atau baris 4 kolom 2 dapat juga di jadikan pivot )
2.    Gunakan transformasi elementer baris H32(2) (B);  H42(1) (B) sehingga diperoleh matriks
                        C=       
3.1. Baris 3 dan 4 berkelipatan maka dengan transformasi elementer baris H43(-1) (C);sehingga diperoleh matriks :
                             D =
         Rank Baris matriks A = 3 ( banyaknya baris yang bukan baris nol )




Dengan Cara yang hampir sama dapat digunakan secara kolom.
                  A =
1. Pilih pivot pada baris 1 kolom 1
2. Dengan transformasi k21(-2) (A);  K31(-3) (A); H41(-1) (A) diperoleh matriks :
                  B =
1.    Pilih pivot baris 2 kolom 2 ( misal ,karena dapat juga elemen baris 3 kolom 3 atau baris 4 kolom 2 )
2.    Gunakan transformasi kolom k32(-5) (B);  K42(2) (B);
Sehingga diperoleh matriks :

*   C = 

3.1. kolom 3 dan 4 berkelipatan maka dengan   transformasi kolom K43(6/11) (C); Sehinga diperoleh matriks :

                     D =
         Rank Kolom matriks A = 3 ( banyaknya kolom yang bukan kolom nol )

Kesimpulan : Rank Baris = Rank kolom.
Catatan :
Rank Baris = Rank kolom maka kita dapat mencari rank suatu matrik dengan menentukan mana ukuran yang kecil baris atau kolom, sehingga langkah penyelesaiannya lebih cepat.


Tidak ada komentar:

Posting Komentar