DeNcy's BeJe

Bab.3 Matriks

3.1. Definisi Matriks

         Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom.

         Untuk batasnya adalah :

Notasi Matriks  :

A = ,

         dimana a_ij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

Kesamaan Matriks

2 buah matriks A =  dan B =  dikatakan sama A = B jika ukuran nya sama yaitu ( m x n ) dan a_ij = b_ij  untuk setiap i dan j ( i = 1,2,….,m  ;j = 1,2,….,n )

    3.2. Operasi Pada Matriks

a.    Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran sama ).

Jika A =  dan B =   , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C =   , di mana c_ij =  a_ij + b_ij  untuk  setiap i dan j.

Contoh :

A = dan B =  maka

A + B = +  =  

            =  

b.    Perkalian skalar  terhadap matriks

Jika l suatu scalar ( bilangan ) dan A =  maka matriks lA = (la_ij )

Contoh :

A = maka   2A = =

c.    Perkalian Matriks

Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB ¹BA.

Syarat Perkalian Matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.

Definisi :

            Misal A =  berukuran ( m x n ) dan        B =  berukuran ( n x p ) . Maka perkalian AB adalah suatu matriks C =  berukuran ( m x p)

di mana  c_ij =  a_i1 b_1j  + a_i2 b_2j  + ….. +  a_in b_nj   untuk setiap  I = 1,2,,,,,,m dan j = 1,2,….,p

Contoh :

A =  dan B =  maka

AB =  = (5)

A  (1x3) dan B  (3x1)  maka C  ( 1x1)

3.3. Transpose dari suatu Matriks

Misal A =  berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks A^T berukuran ( nxm) maka

A^T =.

Beberapa Sifat matriks transpose :

(i)            ( A + B ) ^T = A^T + B^T

(ii)           (A^T ) ^T = A

(iii)          l( A^T )  = (lA)^T

(iv)         ( AB ) ^T = B^T A^T

Catatan :

Bila Matriks A =  adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu A^H =  =     , jika z = x – yi maka = x + yi

Contoh :

A =  maka A^H  =

3.4. Beberapa Jenis Matriks Khusus

(1)  Matriks Bujur Sangkar

Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya kolom= n disebut berordo n

Contoh :

A =  adalah matriks bujur sangkar ordo 2

(2)  Matriks Nol

adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)

(3)  Matriks Diagonal

adalah matriks  bujur sangkar yang semua elemen di luar  diagonal utama adalah nol

Contoh :

(4) Matriks Identity ( Satuan )

adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya  semua sama dengan  1

Contoh :

                   

(5) Matriks Skalar

adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1

Contoh :

                

(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol.

Contoh :

                

(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.

Contoh :

                

(8)  Matriks Simetris

 adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan perkataan lain A = A^T dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.

Contoh :

A =  dan A^T =

(9) Matriks Antisimetris

adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain A^T = - A

Contoh :

A=  , A^T =

(10) Matriks Hermitian

   adalah matriks dengan transpose hermitiannya =    dirinya sendiri. Dengan perkataan lain  A^H = - A

Contoh

A =  dan A^H =

      (11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

         Jika  A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku  AB = BA + I maka dikatakan B invers   dari A dan ditulis  B = A^-1  sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B^-1  

(12) Matriks Komutatif.

adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA.

dan

Anti Komutatif

Jika  AB = -BA

(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten

         © Matriks Idempoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     AA = A²  = A

         © Matriks Periodik

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     AAA…A = A^p = A dikatakan periodik dengan periode p-1

         © Matriks Nilpoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan          berlaku     A^r  = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan  r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

3.5. Transformasi ( Operasi) Elemen   pada Baris dan Kolom Suatu Matriks

Yang di maksud dengan transformasi elementer pada baris/kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut :

(1a ) Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j        ditulis  H_ij(A).

         Contoh :

         A =  maka  H₁₂(A)=

(1b ) Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j        ditulis  K_ij(A).

         Contoh :

         A =  maka  K₁₂(A)=

(2a) Memperkalikan baris ke-i dengan skalar l ¹ 0, ditulis H_i^(l) (A)

         Contoh :

A =  maka  H₂⁽²⁾ (A)=     di kali 2

(2b) Memperkalikan kolom ke-j dengan skalar l ¹ 0, ditulis K_j^(l) (A)

         Contoh :

                                                        di kali 3

A =  maka  K₁⁽³⁾ (A)=     

(3a) Menambah baris ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali baris ke -j, ditulis H_ij^(l) (A)

A =  maka  H₂₁⁽¹⁾ (A)=                (*)

(*) Baris 1 kali 1 tambahkan dengan baris 2 diletakkan di baris 2

(3b) Menambah kolom ke-i dengan skalar l ¹ 0 kali kolom ke -j, ditulis K_ij^(l) (A)                            (*)

A =  maka  K₃₁⁽²⁾ (A)=       

(*) kolom 1 kali 2 tambahkan dengan kolom 3 diletakkan di kolom 3

3.6. Matriks Ekivalen

         Dua matriks A dan B disebut Ekivalen ( A ~ B ) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi elementer terhadap baris atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja dikatakan ekivalen baris, dan jika kolom saja dikatakan ekivalen kolom.

         Contoh :

         A =  dan B = adalah ekivalen baris  , karena B = H₁₂(A)

3.7. Matriks Elementer

     adalah suatu matriks yang kita lakukan satu kali transformasi elementer terhadap suatu matriks identitas I

      Contoh :

      H₁₃(I)=   , H₃₁⁽²⁾ (I)=       

      K₁₃(I)=   , K₃₁⁽²⁾ (I)=      

3.8. Ruang Baris (Row Space) dan Ruang Kolom (Coloum Space) dari suatu Matriks

Misal : Matriks A ukuran (4 x 5) sebagai berikut :

A =

Tiap – tiap baris/Kolom dari matriks A dapat di anggap sebagai vektor dan disebut vektor baris/kolom

Definisi :

Ruang baris dari matriks A (mxn) adalahsuatu ruang vektor bagian dari Rⁿ yang dibentuk oleh vektor-vektor baris dari A.

Analog

Ruang kolom dari matriks A (mxn) adalahsuatu ruang vektor bagian dari Rⁿ yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A.

3.9. Rank Matriks

Definisi :

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A.

Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A.

Dan Ternyata Rank Baris = Rank Kolom ditulis r(A)

Catatan :

© Rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum  vektor-vektor baris/kolom yang bebas linier

©Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer. Dengan mengubah sebanyak mungkin baris/kolom menjadi vektor nol ( karena vektor nol adalah bergantung linier ).

© Petunjuk menentukan Rank (Baris/Kolom):

1.    Tentukan elemen Pivot (pada baris/kolom), untuk mempermudah pilih elemen 1 atau –1

2.    Jadikan nol semua elemen yang sekolom/sebaris dengan pivot tersebut.

3.    Sekarang kita perlu perhatikan lagi baris /kolom yang tertinggal ( tanpa baris atau kolom yang terdapat pivot):

3.1.        apabila tinggal dua baris /kolom yang tersisa maka tinggal diperiksa apakah baris/kolom tersebut kelipatan jika ya maka salah satu baris /kolom tersebut dapat dijadikan nol.jika tidak langkah selesai

3.2.        apabila masih lebih dari dua baris/kolom lakukan lagi langkah 1 di atas sampai langkah 3.1.

Contoh : tentukan Rank dari matriks A berikut :

A =

Dengan menentukan  Rank Baris

1.    Pilih Pivot pada baris satu kolom satu, yaitu elemen =1

2.    Dengan mengunakan transformasi elementer baris H₂₁^(-2) (A);  H₃₁^(-1) (A); H₄₁^(-1) (A) diperoleh matriks

            B= 

3.2 Karena masih tersisa matrik ukuran (3x3 )                     (  tanpa baris satu kolom satu atau baris dan kolom yang mengandung piviot ) maka kita harus temukan pivot kembali dan ulangi langkah 1 sampai 3.1.

1.    Plih pivot pada elemen baris 2 kolom 2 ( misalnya karena elemen baris 3 kolom 3 atau baris 4 kolom 2 dapat juga di jadikan pivot )

2.    Gunakan transformasi elementer baris H₃₂⁽²⁾ (B);  H₄₂⁽¹⁾ (B) sehingga diperoleh matriks

                        C=       

3.1. Baris 3 dan 4 berkelipatan maka dengan transformasi elementer baris H₄₃^(-1) (C);sehingga diperoleh matriks :

                             D =

         Rank Baris matriks A = 3 ( banyaknya baris yang bukan baris nol )

Dengan Cara yang hampir sama dapat digunakan secara kolom.

                  A =

1. Pilih pivot pada baris 1 kolom 1

2. Dengan transformasi k₂₁^(-2) (A);  K₃₁^(-3) (A); H₄₁^(-1) (A) diperoleh matriks :

                  B =

1.    Pilih pivot baris 2 kolom 2 ( misal ,karena dapat juga elemen baris 3 kolom 3 atau baris 4 kolom 2 )

2.    Gunakan transformasi kolom k₃₂^(-5) (B);  K₄₂⁽²⁾ (B);

Sehingga diperoleh matriks :

   C = 

3.1. kolom 3 dan 4 berkelipatan maka dengan   transformasi kolom K₄₃^(6/11) (C); Sehinga diperoleh matriks :

                     D =

         Rank Kolom matriks A = 3 ( banyaknya kolom yang bukan kolom nol )

Kesimpulan : Rank Baris = Rank kolom.

Catatan :

Rank Baris = Rank kolom maka kita dapat mencari rank suatu matrik dengan menentukan mana ukuran yang kecil baris atau kolom, sehingga langkah penyelesaiannya lebih cepat.